на домашнюю страницу автора

Математические досуги начинающего трейдера

Данная статья изначально была написана для сайта sMart-Lab.ru, замечательного сообщества людей, интересующихся торговлей на финансовых рынках. (Кое-кто вроде как даже этим зарабатывает ;-) Однако из-за технических сложностей публикации большой статьи с картинками, формулами, таблицами на блогерском сайте я решил выложить её здесь, у себя.

Идея небольшого математического исследования возникла у меня на мероприятии под названием «финансовый супермаркет». Меня заинтересовал один вопрос, о котором я расскажу чуть ниже. Не скажу, что по нему мне удалось получить какие-то выдающиеся результаты. Зато графики, что я нарисовал, на мой взгляд, очень наглядно демонстрируют то, как законы теории вероятностей работают в трейдинге, а также принципы управления рисками. Поэтому, я решил поделиться ими с сообществом.

Эффективность финансовых рынков и статистическое преимущество.

Раньше мне казалось, что самая главная и нетривиальная задача трейдера - это придумать торговую систему, такую, чтобы она давала хотя бы минимальное статистическое преимущество. А дальше вроде бы всё просто: вычислить оптимальный уровень риска и строго следовать правилам своей системы. Именно об этом этапе мы и поговорим. Увы, здесь тоже есть свои сложности. И связаны они не только с психологией, о которой так любят рассуждать. Математика нам покажет, что психологические проблемы буквально вытекают из теории вероятностей.

Вообще, человеческая психика очень плохо приспособлена справляться со случайными событиями. Действительно, как мы обычно обучаемся некому делу? Сначала, конечно, изучаем, собираем информацию, смотрим, как это делают другие. Но это всего лишь предварительная стадия. По-настоящему обучение начинается, когда мы сами пытаемся что-то сделать. Получилось хорошо – замечательно, запомнили это, дальше будем стараться делать также. Получилось плохо – ну ладно, будем пытаться делать как-то по-другому. И так далее, пока не получатся более-менее приемлемые результаты. Хотя можно и до бесконечности, благо совершенству нет предела :-)

В трейдинге же всё по-другому. Все современные финансовые рынки высокоэффективны. Что это означает для трейдера? То, что большая часть движений рынка определяется совершенно случайными факторами, и лишь в некоторых из них можно выделить некую закономерность. Играть против случайного движения цен – абсолютно бесполезно. Можно математически строго доказать, что если движение цены полностью случайно, никакая стратегия не может приносить прибыль. (Но мы не будем здесь углубляться в эту теорию, лучше обсудим вопросы более близкие к практике) Поэтому задача трейдера – выделить хоть какую-нибудь закономерность среди случайностей. Именно это и позволяет заработать.

Но отсюда же вытекает, что результат одной конкретной сделки практически ничего не значит. Если ты получил убыток – это ещё не значит, что ты что-то сделал неправильно, возможно тебе просто не повезло. Наоборот, иногда можно умудриться заработать, даже наделав глупостей, просто благодаря удачному стечению обстоятельств. Значение же имеет суммарный результат многих сделок, совершённых за длительный период времени. Увы, человеческий мозг не имеет функционала для ведения статистики.

Именно поэтому так важна выработка системы. Она даёт способ обойти данное ограничение человеческого мышления. Если система даёт прибыль – это хорошо, можно думать о том, как её улучшить. Если убыток – плохо, надо от неё отказаться, либо что-то изменить. То есть мы возвращаемся к привычному способу мышления.

Небольшое отступление. Об эффективности рынка Forex. На упомянутом «финансовом супермаркете» Тимофей Мартынов (основатель и хозяин sMart-Lab) высказал утверждение, что рынок Forex – крайне высокоэффективен, а следовательно, трейдеру на нём делать нечего. С первой частью утверждения не поспорить. Но вот вывод, на мой взгляд, сделан неверный. Эффективность Forex особенно сильно проявляется на небольших временных интервалах, внутри дня и меньше. Но на больших интервалах уже начинают сказываться фундаментальные факторы, и чем больше, тем соответственно сильнее. Поэтому, чем большими временными интервалами оперирует ваша система, тем большего статистического преимущества вы можете достичь. Лично у меня начало что-то понемногу получаться, когда я перестал пытаться играть внутри дня и перешёл на периоды от нескольких дней до недели. Впрочем, я пока только отрабатываю свою систему.

Проблема Forex в другом, в серости рынка Forex услуг, и громадном уровне мошенничества. Уже вошло в притчу во языцех, что большое количество Forex-контор – откровенные кухни-мошейники, кровно заинтересованные в вашем разорении. И могут ли здесь вообще быть честные фирмы? Некоторые активно декларируют, что они ведут честный бизнес и заинтересованы в том, чтобы он стал цивилизованным, прозрачным и регулируемым. Очень хотелось бы в это верить! Но на сегодняшний момент, то, отдаст ли вам такая фирма вашу прибыль или попросту кинет, зависит только её доброй воли, и больше ни от чего. Признайтесь, только честно, если у вас будет возможность украсть, и вы будете точно знать, что вас за это гарантированно никто не накажет, надолго ли хватит вашей честности? Вот-вот, боюсь, что с «честными» форекс-брокерами дела обстоят примерно также :-(

И всё-же, не смотря на то, что с Forex действительно много проблем, заявлять, что сам этот рынок фундаментально устроен так, что на нём в принципе невозможно заработать – всё-таки перебор. Впрочем, это всё равно не повод лезть туда, особенно со значительными суммами! Может быть в будущем этот рынок станет более цивилизованным…

Так что не подумайте, что я тут собрался агитировать за Forex. Так уж получилось, что сам я начал именно с него. И пока продолжаю торговать маленькими суммами, в основном для обучения и исследования. Планирую в дальнейшем взяться за изучение рынка акций, но пока не могу выделить для этого достаточно времени. Я и эту статейку никак не мог дописать несколько месяцев :-( В этой статье я буду иногда приводить примеры, связанные с Forex, но лишь потому, что этот рынок я успел в некоторой степени изучить. Тема же статьи касается в равной степени всех финансовых рынков.

Пожалуй, единственно, что я могу сказать в пользу Forex, по собственному опыту – это его польза для обучения. По крайней мере, от иллюзий начинающих он избавляет очень быстро!!!

Вопрос о соотношении прибылей и убытков в торговой стратегии.

Теперь расскажу о вопросе, который заинтересовал меня и побудил провести небольшое математическое исследование. Все мы конечно хотим получать прибыль часто и помногу, а убытки, чтобы были редкими и маленьким. Увы, поскольку на значительное статистическое преимущество рассчитывать не приходится, реальная торговая система будет принадлежать к одному из трёх условных классов:

  1. Редкие крупные выигрыши, но частые небольшие проигрыши.
  2. Промежуточный вариант, где прибыльные сделки случаются лишь чуть-чуть чаще проигрышных и прибыль в удачной сделке лишь чуть больше убытка от неудачной.
  3. Частые небольшие выигрыши и редкие, но довольно существенные проигрыши.

В принципе, ничто вроде бы не мешает торговой системе принадлежащей к любому из этих классов быть прибыльной. Главное, чтобы суммарное математическое ожидание прибыли было больше, чем убытка. Скажем, если у нас в среднем только 1 сделка из 10 приносит прибыль, но она в 12 раз больше убытка от неудачной сделки, такая система позволяет получать прибыль. Тем не менее, большинство экспертов в один голос твердят, что их прибыльные стратегии принадлежат только к первой категории. В частности, на том же «финансовом супермаркете» это повторили и Резвяков, и Герчик, да кажется и Тимофей об этом упомянул. Более того, большинство экспертов даже хором отговаривают от попыток сделать иначе. Меня заинтересовал вопрос: почему? Не стоит ли за этим какой-то фундаментальный принцип? Или всё дело в психологии? Поэтому, я решил поднапрячь мозги и вспомнить, чему меня учили на теории вероятностей. Может быть, в ней найдётся некое фундаментальное свойство дающее преимущество таким стратегиям?

Честно говоря, меня этот вопрос заинтриговал как раз в связи с моим интересом к Forex. У меня сложилось впечатление, что здесь классические стратегии в стиле «дай прибыли расти» работают как-то не очень хорошо.

У математиков обычно принято рассматривать «сферических коней в вакууме» :-) То есть некую упрощённую модель, сходную с реальными вещами лишь в самых важных для конкретного исследования вещах. Поступим также и мы. Мы будем рассматривать абстрактную торговую стратегию, как некую азартную игру, вероятность выигрыша и проигрыша в которой заранее известна, так же как и ожидаемый размер выигрыша или проигрыша. Для простоты мы будем полагать, что относительный размер выигрыша и проигрыша фиксирован (то есть как если мы сразу устанавливаем стоп-лосс и тайк-профит, и ждём пока один из них не сработает). В реальных условиях вероятность выигрыша обычно если и известна, то весьма приближённо, но это мы ещё обсудим подробно ниже. Также позднее мы ещё вернёмся к вопросу о том, в чём метафора азартной игры не совсем адекватна реальному трейдингу. Главное в этой модели, она очень просто и наглядно иллюстрирует роль вероятности в трейдинге.

Знаю, многие трейдеры очень не любят, когда их работу сравнивают с азартной игрой. И не зря, поскольку это имеет большое значение с точки зрения психологии. Опыт многих показывает, что отношение к трейденгу, как к игре, а не как к серьёзной работе, всегда приводит к проигрышу. Но у меня сейчас другая задача, проиллюстрировать роль законов вероятности, которая неизбежно присутствуют в работе любого трейдера. И кстати, их влияние на психологию мы тоже обсудим. И «азартная игра» в данном случае – не более чем удобная математическая модель.

Чтобы не быть совсем уж абстрактным, и сделать результаты максимально наглядными, я решил взять 3 стратегии с конкретными параметрами, принадлежащие разными категориям. Я выбрал следующие параметры, где P – это вероятность выигрыша, а F – отношение прибыли в случае выигрыша, к убытку в случае проигрыша:

P
F
0.1
14.320
0.5
1.300
0.9
0.168

Забегая вперёд, я скажу, что специально подобрал параметры F так, чтобы потенциальная доходность этих стратегий была примерно одинакова. Чуть позднее я расскажу, как вычислить доходность по этим параметрам.

Обратите внимание, я взял такие параметры, чтобы статистическое преимущество было не очень большим, но и не совсем уж маленьким. Например, для промежуточной стратегии, где вероятность профита и лося одинакова, я задал размер прибыли на 30% больше, чем  убытка. Интуитивно кажется, что это не так уж и мало. Ниже мы посмотрим, какую реальную прибыль может дать стратегия с такими характеристиками. В любом случае, эти значения выбраны исключительно ради наглядности. И поскольку я привожу формулы, любознательный читатель может сам подставить в них свои параметры и посмотреть, что получится.

Математика случайности и закономерности.

Начнём с того, что рассмотрим лишь первый параметр, вероятность. В отличие от азартной игры, где вероятность, как правило, можно вычислить просто из правил этой игры, для торговой стратегии этот параметр заранее неизвестен. Его можно лишь оценить по результатам многих сделок. (Или по результатам моделирования на исторических данных) А теперь, внимание, вопрос! Как, по-вашему, сколько нужно сделок, чтобы судить об этом параметре хотя бы приблизительно? А сколько нужно, чтобы оценить его более-менее точно? Иначе говоря, сколько требуется сделок совершить, чтобы нейтрализовать случайность?

Когда я сделал расчеты, то понял, что его результаты лишь отчасти совпадают с тем, что я ожидал исходя из своих ощущений и здравого смысла. Действительно, первая стратегия даёт выигрыш в среднем 1 раз из 10. Так что наверно 10 попыток будет маловато, чтобы оценить её на практике. А вот по 20 сделкам наверно уже очень грубо можно о чём-то судить. А 100 сделок – это уже хорошая статистика. Так мне, по крайней мере, казалось…

Далее, я считал, что промежуточная стратегия должна в этом смысле иметь преимущество. Поскольку выигрыши и проигрыши в ней должны происходить одинаково часто, должно быть, что уже небольшое число попыток должно дать неплохую статистику. А теперь посмотрим, что скажет об этом математика.

Итак, если вероятность выигрыша составляет P, и мы совершили N сделок, то математическое ожидание числа выигрышных сделок по определению составляет PN. Но в реальности число выигрышей вовсе не обязательно совпадает с матожиданием (даже, как правило, не совпадает), оно может быть как больше, так и меньше. Но чем сильнее число k выигрышных сделок отличается от PN, тем меньше вероятность такого исхода событий. А именно, вероятность того, что ровно k сделок из N окажется удачными, описывается следующей несложной формулой:

(1)

Чтобы читающие это гуманитарии не решили, что я издеваюсь, называя эту формулу несложной, объясню вкратце, как она получается. Как мы условились, наша единичная сделка может завершиться двумя способами: прибылью либо убытком. По определению, сумма вероятностей всех вариантов должна быть равна 1. Поэтому, если вероятность выиграть равна P, то вероятность проиграть составит 1-P. Далее, теория вероятностей учит нас, что вероятность некоего события происходящего в несколько независимых этапов равна произведению вероятностей каждого из этих этапов. Соответственно, чтобы вероятность того, что реализуется некая последовательность сделок, k из которых завершились удачно, а N-k наоборот, нам надо k раз перемножить P и N-k раз перемножить 1-P. В виде формулы это выглядит:

(2)

Так мы получили первую половину нашей формулы.

Неискушённый читатель возможно уже удивляется, а зачем там вообще вторая половина, которая с факториалами. Дело в том, что формула (2) описывает вероятность некой конкретной последовательности сделок. Скажем, мы совершили 10 сделок, из них удачными оказались вторая и четвёртая, остальные неудачными. Но она может быть и другой, например мы выиграли в седьмой и восьмой позиции, а остальные проиграли. Результат в обоих случаях одинаков, 2 удачные сделки из 10, а последовательности разные. Поэтому, чтобы вычислить полную вероятность получить прибыль в k сделок из N, надо формулу (2) помножить на число способов выбрать k сделок из общего числа N. Решением подобных задач занимается раздел математики под названием комбинаторика. Она и даёт нам в качестве ответа на эту задачу:

(3)

Я бы мог рассказать поподробнее и как вывести формулу (3), но это уже чистая математика, и подозреваю, большинству читателей это покажется неимоверно скучным. Поэтому, перейдём к более интересным и практичным вещам. (К тому же постить формулы сюда весьма неудобно)

Итак, перемножив формулы (2) и (3) мы получаем формулу (1). Давайте теперь посмотрим, как она работает на практике. Положим, мы совершили 20 сделок. Давайте посмотрим, каково будет распределение вероятностей для разных k. Эти распределения для 3 наших стратегий представлены на следующих рисунках. Начнём с первой стратегии, где вероятность выигрыша составляет 10%:

При вероятности 10%, математическое ожидание числа прибыльных сделок из 20 составляет 2 сделки. Что же мы видим? Вероятность такого исхода составляет всего 29%, меньше трети. Вероятность, что нам повезёт всего один раз, почти такая же: 27%. А с вероятностью 12% мы не выиграем вообще ни разу. Перспектива не радует, скажет пессимист, зато оптимист может заметить, что с вероятностью 19% мы можем выиграть 3 раза, и даже есть пусть и небольшой, около процента, шанс выиграть аж 6 раз. А что на всё это может сказать реалист? Полный бардак! Нас самом деле не так важно сколько раз мы недовыиграли или перевыиграли сверх математического ожидания. Всё равно это будет компенсировано в будущих сделках.

А что же действительно важно? В реальности параметр P нам никогда не известен. И определить мы его можем лишь на основании опыта, то есть либо реальных сделок, либо тестирования на исторических данных. И вот положим, мы придумали новую стратегию, для которой P=10% (но мы этого пока не знаем), и совершили по ней 20 сделок. Сможем ли мы получить адекватное представление о её эффективности? Вероятность этого всего 29%, в остальных случаях мы получим либо сильно заниженные, либо наоборот завышенные результаты.

Посмотрим, имеет ли в этом случае какое-либо преимущество стратегия с вероятностью выигрыша 50%:

Не могу сказать, что дела здесь обстоят лучше. Распределение здесь заметно шире. В зависимости от везения мы можем выиграть от 5 до 15 раз, если считать варианты с вероятностью меньше процента практически невероятными.

Как мы видим, вопреки моей интуиции, промежуточная стратегия по большому счёту не даёт преимущества в плане нейтрализации случайности.

И для справки привожу распределение для вероятности выигрыша 90%. Впрочем, оно является зеркальным отражением первого и про него можно повторить всё сказанное выше:

Итак, после 20 сделок мы едва ли получим адекватное представление об эффективности нашей торговой системы. Давайте посмотрим, что будет после 100 сделок. Ниже приведены аналогичные распределения для N=100:

Как и следовало ожидать, распределения стали заметно уже, тем не менее, разброс всё равно достаточно широкий. Таким образом, мы видим, что и после 100 сделок, случайность по-прежнему играет большую роль в наших результатах.

В математике и статистике принято в качестве ширины подобных распределений считать среднеквадратичное отклонение. Посчитаем его:

(4)

Здесь я опустил все промежуточные выкладки и привёл только конечный результат. Поскольку наша оценка для P – это k/P, то погрешность этой оценки составит:

(5)

Это означает, что наша погрешность в оценке P с ростом N будет изменяться пропорционально , то есть она будет уменьшаться но довольно-таки медленно.

Формула риска

Для чего вообще нам нужно знать P? Причём желательно поточнее. Очевидно для того, чтобы можно было оценить прибыльность нашей системы. К этому мы и переходим. Помнится, Тимофей на «финансовом супермаркете» написал примерно такую формулу для математического ожидания прибыли:

(6)

, где Xprofit, Xloss – размер ожидаемой прибыли в удачной и убытка и неудачной сделке, а Pprofit, Ploss – вероятности этих событий соответственно. (Pprofit я обозначаю просто P, а Ploss=1-P) Эта формула совершенно верна, но к реальной торговле не имеет ровным счётом никакого отношения. Почему? Писавший её предполагал, что доход либо прибыль в каждой сделке фиксирована. То есть мы каждый раз вкладываем в позицию одну и туже сумму, и соответственно Xprofit, Xloss являются константами. Но разве так поступает большинство трейдеров? Обычно они реинвестируют полученную прибыль (и убыток тоже), поэтому прибыль или убыток в отдельной сделке оказывается пропорциональна размеру капитала трейдера. Как же мы должны переписать формулу (6), чтобы учесть реинвестирование?

Здесь мы должны ввести ещё один очень важный параметр, уровень риска r, долю капитала, которой мы рискуем, и которую соответственно потеряем в случае неудачной сделки. Как мы сейчас увидим, выбор этого параметра – весьма тонкий вопрос даже в нашем идеализированном случае.

На практике, мы управляем уровнем риска выбирая объём сделки. Допустим, текущая цена Qopen, и наша торговая система говорит, что пора открыть позицию на покупку и установить цены take profit и stop loss в Qtp и Qsl соответственно. Эти параметры обычно определяются торговой системой. Зато объёмом позиции, обозначим его s, мы можем распоряжаться по своему усмотрению. И если наш капитал равен K, то, чтобы наш убыток в случае неудачи составил Kr, мы должны купить:

(7)

В реальности s, скорее всего надо будет ещё поделить на размер лота, поскольку объём сделки обычно задаётся не в единицах покупаемого актива, а в лотах. Мне не хочется более подробно останавливаться на всей этой арифметике, поскольку она подробно описывается в любой статье «для чайников». Обращу только внимание, что на практике установка stop loss не всегда гарантирует, что убыток не превысит расчетный. Так называемое «проскальзывание», мелкое жульничество со стороны некоторых Forex-ДЦ, вполне можно включить в формулу (7). Но всегда остаётся проблема гэпов. Как минимум, такую возможность необходимо учитывать. Ниже, я ещё коснусь её, но вообще это отдельная серьёзная тема, про которую впору писать отдельный труд. Поэтому мы пока продолжим обсуждать «сферических коней в вакууме», предполагая, что stop loss всегда срабатывает по указанной цене, и таким образом наши убытки строго ограничены. И будем для простоты считать, что мы полностью свободны в выборе объёма позиции, так что мы можем полностью контролировать уровень риска.

Здесь необходимо сделать ещё одно отступление. Очень часто можно услышать фразы типа: «как можно играть на Forex! Там же ТАКОЕ огромное кредитное плечо!!!» С рынком Forex действительно есть серьёзные проблемы, я уже кратко писал об этом выше. Но кредитное плечо, тем не менее, тут совершенно не причём. Просто удивительно, почему его превратили в эдакую страшилку. К сожалению, я имел возможность убедиться, что многие повторяющие эту мантру явно не понимают о чём вообще речь. Правда заключается в том, что ни один ДЦ ещё не додумался обязать трейдера использовать это плечо на все 100%. А если придумает, (а при их изобретательности исключать такого нельзя) это будет, несомненно, технологический прорыв в деле развода лохов на бабки :-)

На самом деле, размер кредитного плеча — глубоко второстепенная величина. Но он опосредованно связан с действительно важным параметром, уровнем риска, тем самым r, о котором мы подробно поговорим ниже. Как видно из формулы (7), чем больше r, тем большую позицию мы должны открыть. Но объём позиции сам по себе ограничен размером нашего капитала. Собственно в отсутствии кредитного плеча мы просто не сможем открыть позицию больше, чем наш капитал. Кредитное плечо даёт возможность увеличить этот объём в число раз равное leverage, то есть размеру этого плеча. Опасность заключается в том, что при этом мы легко можем обеспечить себе такой уровень риска, который будет просто напросто превышать весь наш капитал. И первая же неудачная сделка оставит нас без копейки в кармане. Но повторюсь, никто не обязывает вас поступать столь неразумно. С учётом того, что сейчас об этой ловушке подробно рассказывается буквально во всех книгах и статьях в стиле «Forex для чайников», попасть в неё может только полный … эээ, как бы сказать помягче, а то вдруг кого случайно обижу :-) Увы, для человека бросающегося рисковать своими деньгами не разобравшись как следует в правилах этой игры и возможных проблемах, в голову приходят только самые уничижительные эпитеты.

Таким образом, большое кредитное плечо позволяет взять повышенный уровень риска. Но никто и ничто, кроме вашей собственной глупости, не может заставить вас брать риск выше разумного предела. Как определить этот предел? Это не такой уж простой вопрос, некоторые аспекты которого мы обсудим ниже. Однако он актуален для опытного трейдера, уже отработавшего свою стратегию и желающего использовать её максимально эффективно. Для чайника же, рецепт простой: рискуйте по-минимому, ваша первая задача – не заработать, а научится это делать!

Я извиняюсь, если пишу здесь банальные вещи! Но как я заметил, даже на sMart-Lab, для некоторых необходимость контролировать уровень риска является откровением.

Итак, попытаемся оценить прибыльность торговой стратегии исходя из следующих параметров: P – вероятность завершить сделку с прибылью, F – отношение прибыли в случае удачного завершения сделки к убытку в случае неудачи, и r – уровню риска или доли капитала, которой мы рискуем в одной сделке. Мы также для простоты будем считать, что сделки совершаются последовательно, и мы открываем новую позицию не ранее, чем будет закрыта предыдущая. Поскольку в случае неудачи мы теряем долю r от нашего капитала, то изменение капитала в этом случае выражается следующей формулой:

(8)

А как изменится наш капитал в случае удачи? Мы условились, что прибыль в F раз больше убытка, а размер убытка задаётся уровнем риска r, и следовательно прибыль составит Fr и мы получаем следующую формулу:

(9)

Теперь, пусть мы совершили N сделок. Из них в среднем NP должны быть удачными, и N(1-P) – неудачными. Поэтому формула для математического ожидания величины нашего капитала после N сделок будет следующая:

(10)

Сократив из этой формулы N и k, мы получим коэффициент прибыльности одной сделки:

(11)

Этот коэффициент характеризует математическое ожидание отношения капитала после сделки к капиталу до неё.  Соответственно, если он больше 1, наша стратегия прибыльная, если меньше – убыточная. А чтобы получить привычную нам прибыльность в процентах, мы должны вычесть из этого коэффициента 1 и помножить на 100%:

(12)

Я специально описал, как получается формула (11) достаточно подробно. Она конечно выглядит пострашнее формулы (6), но тем не менее гораздо ближе к реальности, пусть и с некоторыми допущениям.

Если мы хотим оценить прибыль на N сделок, надо этот коэффициент возвести в степень N:

(13)

Да-да, эта та самая формула экспоненциального роста прибыли, которой так любят соблазнять новичков рекламные статейки из серии «фондовый рынок для чайников», «форекс для идиотов», и т.п. Действительно, график экспоненты взлетает, как ракета, по крайней мере в правой его части. Но похоже, только математики знают, что у экспоненты есть и обратная сторона. В левой части – это пологое плато, прижимающееся к земле. Так что мечты о том, что можно раскрутиться на миллионы начав со $100, весьма далеки от реальности. Возможность играть на такие малые суммы очень полезна для обучения, но не для реального заработка. Если хочешь заработать существенную сумму, то и рисковать приходится существенными для себя деньгами.

Формула (11) интересна тем, что даёт возможность вычислить оптимальный уровень риска. Для иллюстрации, на следующем рисунке представлены графики зависимости коэффициента прибыльности для трёх наших стратегий от уровня риска r. Только по вертикальной оси я отложил не k1, а традиционную прибыльность, получаемую по формуле (12):

Внешне эти кривые похожи на параболы, хотя описываются более сложной степенной формулой (11). Пока риск мал, прибыль растёт почти пропорционально риску, но затем кривая разворачивается и камнем падает вниз, уходя в отрицательную область. Прекрасная иллюстрация того, как важно контролировать уровень риска!

Если поднапрячься, и вспомнить школьный курс математики, из формулы (11) легко можно вычислить r, при котором k1 достигает максимума. (Подсказка: для этого надо вспомнить, что такое производная) Я приведу лишь результат:

(14)

Мы получили ни что иное, как знаменитый критерий Келли. О нём немало написано, поэтому я не останавливаюсь здесь ни на этой формуле, ни на её выводе более подробно. (В статьях формула может выглядеть чуть иначе, поскольку её обычно формулируют в терминах ставки в букмекерской конторе, как это собственно и делал Джон Келли) Тем более, как я уже сказал, чтобы вывести формулу (14) из (11) достаточно школьного курса математики. (Уж не знаю, правда, способны ли на такие расчеты современные школьники, всё-таки в моё время в школе учили предметам, а теперь, говорят, учат, как сдавать ЕГЭ :-) Тонкость, как ни странно, заключается в самой формуле (11). Хоть она и достаточно проста, многим представляется неочевидной. На первый взгляд, действительно может показаться, что для описания, как азартной игры, так и роли случайности в трейдинге, вполне достаточно формулы наподобие (6). Поэтому выше я уделил формуле (11) столько внимания. Я надеюсь, что теперь читатель смог, что называется «прочувствовать» её.

Но вернёмся к формуле (14). К сожалению, на практике, её вряд ли удастся применить напрямую. И дело вовсе не в том, что наша модель слишком упрощена по сравнению с реальностью. Доработать её для описания более реалистичных сценариев для математика – дело техники, пусть при этом она лишится своей простоты. Одна из реальных проблем состоит в том, что вероятность P на практике мы всегда можем оценить лишь весьма приближённо. Выше я уже описывал математические причины этого. Единственный способ более точной оценки P состоит в увеличении статистики, то есть числа сделок N, по которым мы оцениваем нашу стратегию. Но при этом, с одной стороны, погрешность оценки P уменьшается пропорционально , то есть достаточно медленно. А с другой стороны, число N объективно ограничено, набрать очень большую статистику проблематично. Особенно если мы торгуем вручную. В этом случае, мы должны проторговать длительное время, пока наберём статистику сделок. Можно конечно попытаться и ручную стратегию протестировать на исторических данных. Но в этом случае трудно быть объективным, когда будущее уже известно. Последнего недостатка лишены механические торговые стратегии. Но у них свои проблемы. Думаю не надо объяснять, как трудно формализовать торговые правила, чтобы их можно было воплотить в виде компьютерного алгоритма. И в любом случае, и ручные, и автоматические торговые системы, как правило, работают лишь ограниченный промежуток времени. Рынок всё время меняется. В движениях цен появляются и исчезают новые закономерности. И система, которая хорошо работает сегодня, могла плохо работать вчера, и никто не может гарантировать, что будет вообще работать завтра. Поэтому, даже если мы тестируем стратегию на исторических данных, мы не можем взять все доступные данные, начиная с основания биржи. Нам придётся ограничиться некоторым промежутком близким сегодняшнему дню.

Очевидно, уровень риска в любом случае имеет смысл выбрать с некоторым запасом по сравнению с тем, что даёт нам критерий Келли. И дело не только в погрешности, с которой нам известно P. Вскоре мы увидим и другие, более веские основания для этого.

Математика прибыли

Давайте, наконец, посмотрим, как вся эта математика работает на конкретном примере. Подставим в формулы (14) и (11) параметры, которые я задал выше, и вычислим, какую доходность могут показать нам наши 3 торговые стратегии:

 
Экстремальный уровень риска
Сниженный уровень риска
P
F
rmax
N=1
N=20
N=100
r
N=1
N=20
N=100
0.1
14.320
3.7%
0.86%
18.7%
136%
1.81%
0.66%
14.1%
94%
0.5
1.300
11.5%
0.86%
18.7%
136%
6.00%
0.66%
14.1%
94%
0.9
0.168
30.5%
0.86%
18.7%
136%
16.60%
0.66%
14.1%
94%

В третьей колонке представлен оптимальный уровень риска, вычисленный по формуле (14). И тут мы видим интересную закономерность. Для стратегии с редкими крупными выигрышами оптимальный уровень риска совсем небольшой, всего 3.7%, в то время как стратегия с частыми небольшими выигрышами требует достаточно высокого уровня риска для достижения максимальной доходности. Мы ещё вернёмся к этому факту.

Далее, в четвёртой, пятой и шестой колонах представлена доходность стратегий в пересчёте на 1, 20 и 100 сделок при оптимальном уровне риска. Как я уже говорил, я заранее подобрал параметры F так, что три наши стратегии были примерно равноценны по потенциальной доходности. Эти цифры показывают нам тот максимум доходности, который можно в принципе выжать из стратегии с заданными параметрами P и F. То есть, это и есть индикатор статистического преимущества. Интуитивно кажется, что при таких P и F оно пусть и не очень велико, но не так уж и мало. Ведь параметр F для всех стратегий не так уж и мал. Например, для промежуточной, где вероятность выигрыши и проигрыша одинакова, выигрыш больше проигрыша на 30%. Тем не менее, доходность на одну сделку составляет меньше процента! И это теоретический максимум, которого можно добиться от данной стратегии. В реальности он может быть только меньше.

Далее, поскольку в реальности мы обычно вынуждены использовать уровень риска заведомо меньше оптимального, я решил уменьшить r примерно в 2 раза, и посмотреть что получится. Выбранные мной значения r представлены в седьмой колонке таблицы. Я снова подобрал значение r так, чтобы доходности после этого остались одинаковы. Поэтому для первой стратегии пришлось уменьшить r чуть больше, для последней чуть меньше. Тем не менее, эта разница невелика. Обратите внимание, что хотя уменьшил риск примерно в 2 раза, доходность упала не так сильно, раза в полтора, даже чуть меньше.

Это легко понять, глядя на представленные выше графики доходности от уровня риска. Эти похожие на параболы кривые имеют округлые вершины, в районе которых доходность изменяется относительно плавно. Поэтому вовсе и не обязательно пытаться точно вычислить rmax. Но и это – не главная причина, почему не стоит пытаться доводить уровень риска до экстремального.

Вернёмся к графикам распределения вероятности числа удачных сделок, которые я приводил в начале статьи. Теперь, в дополнение к вероятности мы можем вычислить, какой доход мы получим, если из N сделок у нас удачными окажутся только k. Для этого надо в формулу (10) вместо математического ожидания NP подставить конкретное число сделок k:

(15)

Напоминаю, чтобы получить привычную нам доходность в процентах, надо из полученного коэффициента вычесть 1 и помножить на 100%. На следующих рисунках на график распределения вероятностей для N=20 наложены вычисленные таким образом доходности. Я привожу две цифры: для экстремального уровня риска rmax (оранжевые точки), и для выбранного мной пониженного уровня риска (голубые точки). Левая шкала – прибыль/убыток в процентах, правя шкала – вероятность.

Начнём традиционно со стратегии с редкими крупными выигрышами:

И сразу видна, во-первых, очень крутая зависимость доходности от количества удачных сделок (что конечно не удивительно). Характерно, что если число выигрышных сделок составило ровно 2, что в точности соответствует математическому ожиданию для данной стратеги, то и доходности в точности совпадают с вычисленными ранее математическими ожиданиями для них. В этом случае они составляют скромные 14% (для умеренного уровня риска). Зато, если нам повезло выиграть 3 раза, вероятность чего также весьма велика, доход составит уже целых 46%, 4 раза – 88%, и даже больше, правда вероятность этого уже невелика.

Разве это плохо, получить большой доход, спросите вы? Может быть, конечно, и не плохо. Но вовсе и не хорошо! Надо осознавать, что эти сверхдоходы – просто результат случайности, и не более. Из них «честно заработанные» - только те самые 14%. Всё, что больше – случайность и не более! При дальнейшей торговле эти сверхприбыли неизбежно будут съедены. Точно также и убыток. Мы уже замечали, вероятность, что лишь одна сделка из 20 окажется выигрышной, для данной стратегии почти такая же, как 2 выигрышные сделки. А здесь даже с умеренным уровнем риска мы получим убыток вместо прибыли, не говоря уж о вероятности того, что нам не повезёт ни разу. Но это – опять результат случайности.

Главная проблема такой большой роли случайности в наших результатах связана с тем, что на практике, мы никогда не знаем P, и можем судить об эффективности стратегии только по её результатам. Но мы видим, что в данном случае, мы лишь с вероятность меньше 1/3 после 20 сделок будем иметь адекватное представление об этой стратегии. В остальных случаях мы либо получим убыток, и возможно откажемся от прибыльной на самом деле стратегии. Либо получим сверхприбыль и сильно завышенные ожидания.

А что бывает, когда у нас по какой-либо причине появляются завышенные ожидания, которые в дальнейшем не оправдаются? Правильно! Психологические проблемы. Нам начинает казаться, что мы что-то делаем не так. Начинаются рефлексии, риторические вопросы в стиле «ну почему я такой идиот», и т.п. А в реальности это могло быть просто невезение, которое надо просто банально пережить. Вот вам и связь теории вероятностей с психологией!

Теперь сравним прибыли и убытки при экстремальном и умеренном уровне риска. Обратим внимание, что при 2 удачных сделках прибыль отличается примерно в полтора раза, то есть не так чтобы совсем уж сильно. Зато при отклонении числа удачных сделок от математического ожидания, что в большую, что в меньшую стороны, что прибыли, что убытки для экстремального уровня риска растут гораздо быстрее, чем для умеренного. И это очень наглядно демонстрирует следующий факт: при уровне риска близком и экстремальному, то есть соответствующему критерию Келли, сильно возрастает волатильность нашего счёта. Мы то будем получать огромные сверхприбыли, то громадные убытки. Может быть, экстремальный уровень риска и обещает наиболее быстрый рост капитала в асимптотическом пределе. Но работать в таких условиях будет очень трудно. Во-первых, по чисто психологическим причинам. Во-вторых, это в азартной игре, затянувшаяся череда проигрышей – не более чем случайность. Рынок же постоянно меняется, и трейдер должен подстраиваться под него. И может быть сложно отличить, в чём причина наших убытков – в случайности или в том, что мы что-то делаем не так. Именно в этом мне видится основной аргумент в пользу того, чтобы не пытаться доводить уровень риска до экстремального.

В своё время, когда я только впервые прочитал про критерий Келли, я осознал то, как важно выбрать некий разумный уровень риска. Но мне казалось, что сложность его вычисления на практике связана, с одной стороны, со сложностью построения адекватной математической модели для реального трейдинга. А с другой стороны с тем, что вероятности успешности сделки в реальной торговле можно определить лишь весьма приближённо, о чём я уже писал здесь. Но построив эти графики, понял, что дело намного сложнее. Даже если нам удастся приблизиться к экстремальному уровню риска, мы получим вместе с ним и экстремальную волатильность нашего счёта, иными словами, громадные просадки. Это само по себе представляет большую проблему. Поэтому, выбор оптимального уровня риска – гораздо более нетривиальная задача. И определяется она не только математикой, но и психологией!

Правда, ещё раз хочу отметить, что эта задача актуальна лишь для достаточно опытных трейдеров, уже сумевших сформировать свою стратегию. Для новичка риск чем меньше, тем лучше.

Но вернёмся к сравнению наших стратегий. Ниже приведены аналогичные рисунки для стратегии с равновероятными выигрышами и проигрышами, и для стратегии с частыми малыми выигрышами:

Мы видим, что картина здесь в целом аналогична, и все сделанные выше наблюдения можно повторить для них буквально слово в слово. Точна также, мы видим крутую зависимость сверхприбылей и свехубытков от числа удачных сделок. Точно также, снижение уровня риска по сравнению с экстремальным ведёт к значительному снижению сверхприбылей и сверхубытков, и при этом к относительно умеренному снижению прибыли при числе выигрышей равному матожиданию. Так что пока не видно существенных аргументов в пользу одной из систем.

Одно любопытное наблюдение всё же есть. У первой стратегии, с редкими крупными выигрышами, максимальный убыток за 20 сделок оказывается ограничен. Действительно, даже в самом худшем случае, если у нас не будет ни одной удачной сделки (вероятность чего составляет 12%), наш убыток составит всего лишь 31% (при умеренном уровне риска). По двум другим стратегиям, если мы ни разу не выиграем, наш убыток будет практически 100%. Тем не менее, вероятность этого пренебрежимо мала. Если же брать в расчет наихудшие варианты исхода, вероятность которых составляет хотя бы 1% (5 выигрышей для второй и 15 – для третьей стратегии), убытки для них будут вполне сопоставимы: 42% и 39% соответственно. В общем, приятно конечно осознавать, что твоя стратегия гарантированно не принесёт убыток больше определённого значения. Но две другие стратегии, хотя и не могут этого гарантировать абсолютно строго, обещают тоже самое с вероятностью ~99%. Так что, вряд ли это можно назвать реальным преимуществом.

С другой стороны, при увеличении числа сделок это свойство совсем нивелируется. И при большом числе сделок все стратегии могут обещать лимит убытков лишь с определённой вероятностью. Ниже приведены картинки подобные предыдущим, но для числа сделок равному 100. Я не стал рисовать всё распределение, как на картинках в начале статьи, а лишь ту часть, где вероятность составляет хотя бы 1%:

Как и прежде, по горизонтальной оси отложено число выигрышных сделок. На правой - вероятность такого исхода, она изображена гистограммой. На левой оси – полученная при этом прибыль или убыток. Оранжевые точки соответствуют экстремальному уровню риска, голубые – умеренному.

Для первой стратегии при самом неудачном раскладе убыток составил уже 84% даже при умеренном риске. Зато и вероятность такого исхода много меньше процента. Так что при большом числе сделок стратегия с редкими крупными выигрышами в плане ограничения максимальных убытков не имеет преимуществ перед двумя другими.

Как и прежде, для всех трёх стратегий, графики обещают большую волатильность нашего счёта, особенно для максимального уровня риска. С ним можно получить, как сверхдоходы, так и сверхубытки. Как и прежде, зависимость для умеренного уровня риска существенно более пологая, чем для экстремального. Но это не только обещает снижение и сверхдоходов, и сверхубытков. График для экстремального уровня риска при снижении числа реальных выигрышей по сравнению с математическим ожиданием уходит в отрицательную область гораздо быстрее. А это означает, что при экстремальном уровне риска мы хотя и имеем большую величину математического ожидания нашего дохода, но при этом и большую вероятность оказаться в убытке! Занятно, не правда ли?

И всё же, в отличие от графика для 20 сделок, при сотне уже значительная часть зависимости левее математического ожидания лежит в положительной области, даже для экстремального уровня риска. Вполне естественно, что при положительном матожидании прибыли, с ростом числа сделок уменьшается вероятность остаться в убытке. Увы не так быстро, как нам того хотелось бы. Давайте попытаемся оценить, при известных параметрах стратегии, сколько нужно совершить сделок, чтобы более-менее гарантированно не остаться в убытке.

Если вероятность выигрыша P, и совершено N сделок, то среднее количество удачных составит NP. А теперь вспомним формулу (4), где я вычислял среднеквадратичное отклонение числа выигрышных сделок. Напомню результат:

(16)

С большой долей вероятности реальное число удачных сделок K будет лежать в диапазоне от NP-Δk до NP+ΔK. Давайте посчитаем, при каком N, мы при любом k попавшим в этот диапазон получим прибыль, а не убыток. Конечно, остается некая вероятность, что реальное число удачных сделок окажется за пределами этого диапазона, но она не велика. Посчитать прибыль, если мы совершили N сделок и k из них оказалось удачными, можно по формуле (15). Напомню, её результат – это отношение капитала после серии сделок к капиталу до. То есть если эта величина меньше 1 – мы получили убыток, больше – прибыль. Теперь подставим в эту формулу k=NP-ΔK, то есть наихудшее число удачных сделок из нашего диапазона, и вычислим, при каком N мы не получим в этом случае убытка. То есть нам надо решить следующее уравнение:

(17)

Традиционно не стану утомлять читателя промежуточными вычислениями, тем более что здесь они довольно простые, хотя и громоздкие. Приведу ответ, что у меня получился:

(18) , где

По этой формуле, можно оценить, сколько нужно совершить сделок по заданной системе, чтобы нивелировать эффект случайности. Совершив такое количество сделок, мы можем, опять-таки не абсолютно, но с высокой долей вероятности надеяться, что мы, по крайней мере, не останемся в убытке, даже если нам будет не очень-то везти. Посмотрим, что даст расчет для наших примеров:

 
Экстремальный уровень риска
Сниженный уровень риска
P
F
rmax
Nprofit
r
Nprofit
0.1
14.320
3.7%
263
1.81%
128
0.5
1.300
11.5%
234
6.00%
107
0.9
0.168
30.5%
209
16.60%
90

После всего вышесказанного о том, что увеличение уровня риска увеличивает и волатильность счёта, нет ничего удивительного в том, что для умеренного уровня риска это число оказалось в два раза меньше, чем для максимального. А вот сравнение разных стратегий оказалось более любопытным. Хвалёная стратегия с редкими крупными выигрышами, оказывается, требует большего числа сделок, чтобы добиться более-менее гарантированной прибыли, а ругаемая с частыми мелкими выигрышами – наоборот меньше. Впрочем, я считаю, что это не более чем занятный факт, но никак не преимущество или недостаток одной стратегии над другой. Дело в том, что это не более чем особенность проявления волатильности, реальная доходность этих стратегий одинакова.

Проблема гэпов и неконтролируемого риска

Так есть ли в самом деле какие-либо фундаментальные преимущества у стратегии с редкими крупными выигрышами перед стратегией с частыми мелкими (при одинаковой прибыльности)? Пока мы обнаружили одно существенное различие в свойствах этих подходов к созданию стратегии. Первая требует достаточно малого уровня риска на сделку, последняя – наоборот достаточно большого. В рамках нашей модели в этом нет никакой проблемы. Но в реальности стратегия, требующая большого уровня риска, может оказаться намного рискованней, чем предполагается из формальных оценок. Для ограничения убытков обычно используются stop-loss приказы. Громадная проблема в том, что нет гарантии в том, что стоп сработает по заданной, а не по намного более худшей цене. И дело не в нечестных форекс брокерах, а в явлении под названием гэп, когда цена изменяется скачкообразно и даже абсолютно честный брокер просто не в состоянии исполнить вашу сделку по заявленной цене. А покрывать ваши убытки из своего кармана он точно не будет.

На Forex серьёзный гэп – большая редкость. И в принципе, опасные моменты в большинстве случаев известны заранее: это открытие рынка после выходных, либо выход некой супер-мега-важной новости. На практике, такой разрушительной силой обладают лишь результаты заседаний центробанков, если они вдруг окажутся отличными от так называемых «рыночных ожиданий» (то есть результатов коллективног творчества финансовой прессы ;-)

Тем не менее, если есть хотя бы малая вероятность того, что вы попадёте на гэп, и ваши убытки превысят 100%, вашу торговую систему надо признать неудовлетворительной. Остаётся либо брать риск с большим запасом, либо избегать оставлять открытые позиции в периоды, опасные возникновением гэпа.

Небольшие гэпы конечно случаются и на выходе менее важных новостей, и даже просто в периоды пониженной ликвидности. И за каждым незадачливые трейдуны конечно же видят происки ДЦ :-) Не собираюсь защищать их, благо многие из них прославились в том числе и мелким жульничеством (вроде «проскальзывания»). Но не стоит абсолютно все свои неудачи списывать на коварство ДЦ. При таком подходе вам и на фонде ничего не светит. Только там вас будет поджидать не менее коварный Кукл :-) Что же касается гэпов, то это неизбежное явление, даже при абсолютно честном брокере. Так что надо не искать виноватого, а подумать, как сделать стратегию, способную приносить прибыль даже в таких условиях. Да, это сложная задача, но не повод опускать руки! Халявы в любом случае ждать не приходится.

Итак, если мы контролируем риски с помощью стоп-лоссов, из-за проблемы гэпов мы должны рассчитывать свой риск так, чтобы даже в случае больших потерь наши убытки были бы приемлемы. Пусть такой убыток составит даже пол-депозита, это будет лишь серьёзная неприятность, которую в дальнейшем можно будет компенсировать успешной торговлей. А вот если вы можете потерять полностью весь свой депозит, даже если вероятность такого события невелика, то однажды это непременно случится, и ваша карьера трейдера на этом может закончиться.

В конце концов, причиной незаложенных в торговую систему убытков может послужить не только гэп, а просто ваша собственная ошибка. Человек не идеален, а на финансовых рынках за каждую ошибку приходится расплачиваться деньгами. Причиной может стать и техническая проблема. И это ещё одна, возможно даже самая веская, причина, чтобы выбирать уровень риска не близким к экстремальному, а со значительным запасом. Быть может даже с очень значительным!

Как мы видели, торговая система, основанная на частых небольших выигрышах и редких крупных проигрышах, подразумевает весьма большой уровень риска на одну сделку. Наоборот, торговая система с редкими, но крупными выигрышами требует небольшого риска на сделку. Соответственно запас риска на случай непредвиденных обстоятельств у неё намного больше. И это очень весомый аргумент в её пользу. С другой стороны, если эти системы работают на сходных временных интервалах, то и размеры стоп-лоссов у первой наверняка будут намного больше второй, а следовательно и чувствительность к гэпам ниже. В общем, это очень серьёзный аргумент в пользу стратегии с редкими крупными выигрышами, но всё же нельзя сказать, что он однозначно отметает прочие типы стратегий.

«Поломка» стратегии

До сих пор мы предполагали, что наши стратегии работают стабильно, и вероятность выигрыша не меняется со временем. Но любому трейдеру известно, что в реальности это не так. Рынок постоянно меняется, и рано или поздно любая прибыльная стратегия перестаёт работать. Но понять, что это не просто неудачное стечение обстоятельств, сходу невозможно. И выше я постарался наглядно проиллюстрировать, почему. Поэтому трейдер неизбежно будет продолжать некоторое время пользоваться прежней стратегией, пока не убедится, что она стала убыточной. И всё это время он будет терять деньги.

Давайте попробуем прикинуть, сколько денег мы потеряем, прежде чем поймём, что с нашей стратегией что-то не то. Возьмём самый крайний случай. Пусть рынок изменился настолько, что наша стратегия оказалась совершенно неработоспособна, и каждая новая сделка заканчивается убытком. Сколько сделок мы совершим, прежде чем решим, что это, скорее всего, не просто стечение обстоятельств? В табличках ниже я привожу, в первой колонке число последовательных убытков, во второй – вероятность такого события при нормальном функционировании стратегии, и в двух последних колонках полученный убыток, традиционно для экстремального и уменьшенного уровней риска. На это раз начнём с последней стратегии, с редкими большими проигрышами и частыми малыми выигрышами:

P=0.9
N
p
убыток
макс. риск
убыток
сниженный риск
1
10.0%
-30.5%
-16.6%
2
1.0%
-51.7%
-30.4%

Проигрыши здесь случаются редко, а вероятность того, что в нормальных условиях мы проиграем два раза подряд, составляет всего 1%. Поэтому уже после второго проигрыша мы должны решить, что здесь что-то не так, и пора попрактиковаться на демо-счёте. Но с другой стороны, поскольку данная стратегия приносит большие убытки в случае неудачи, за эти две сделки мы теряем 30% даже при умеренном уровне риска.

Далее, для того, чтобы сравнение с предыдущим случаем было адекватным, будем считать, что мы останавливаем торговлю, когда вероятность такой серии убытков при нормальной торговле составляет около 1%. Посмотрим, как будут развиваться события с промежуточной стратегией:

P=0.5
N
p
убыток
макс. риск
убыток
сниженный риск
1
50.0%
-11.5%
-6.0%
2
25.0%
-21.7%
-11.6%
3
12.5%
-30.8%
-16.9%
4
6.3%
-38.8%
-21.9%
5
3.1%
-45.8%
-26.6%
6
1.6%
-52.1%
-31.0%
7
0.8%
-57.6%
-35.2%

Вероятность проиграть 2, 3 раза подряд здесь довольно велика и такое развитие событий не вызывает удивления. На четвёртый у нас начинают закрадываться сомнения. На пятый у нас ещё остаётся какая-то надежда. Но шестой, а уж тем более седьмой проигрыш подряд уже не оставляют сомнений в том, что стратегия больше не работает. Но что любопытно, даже после седьмого раза убыток составил 35% (при умеренном риске), что по большому счёту не сильно отличается от предыдущей стратегии.

Возьмём, наконец, «правильную» стратегию, где выигрыши редки, но зато большие. Вся таблица получается слишком длинной, поэтому я приведу только строчки для числа сделок кратных 10:

P=0.1
N
p
убыток
макс. риск
убыток
сниженный риск
10 34.9% -31.5% -16.7%
20 12.2% -53.1% -30.6%
30 4.2% -67.9% -42.2%
40 1.5% -78.0% -51.8%

Удачные сделки здесь редки, поэтому 10 неудач подряд – обычное дело. Да и 20 – неприятность конечно, но вполне реалистичный вариант. Вероятность 30 неудачных сделок подряд около 4%. Тут уже должны возникнуть сомнения, но всё же, ещё можно надеяться, что это просто полоса неудач. Но на 40 неудачных сделках подряд мы, пожалуй, всё-таки остановимся, хотя его вероятность всё ещё больше процента. Тем более, что к этому моменту просадка составляет уже 50%, то есть намного больше, чем в двух предыдущих стратегиях.

Таким образом, мы сделали удивительное наблюдение. Оказывается, если наша стратегия подразумевает частые небольшие убытки и редкие крупные прибыли, то в случае, когда она перестаёт работать, мы можем ещё весьма долго продолжать её использовать, потихоньку терять деньги и не осознавать, что у нас проблема!

Такая стратегия подразумевает небольшой убыток в случае неудачи, но поскольку полоса неудач может продолжаться весьма долго, до того момента, как мы осознаем проблему, мы можем потерять значительную сумму. В двух других случаях это неизбежно произойдёт гораздо быстрее. Впрочем, поскольку те стратегии предполагают большие убытки в случае неудачи, мы всё равно успеем потерять немало, и тем не менее, заметно меньше.

Если мне позволит время, будет интересно попытаться более строго проанализировать ситуацию, когда стратегия перестаёт работать. Всё-таки здесь я провёл лишь весьма качественный анализ. Может быть, удастся вывести более строгие формулы.

Сравнение стратегий

Итак, не смотря на всё вышесказанное, я всё-таки не обнаружил ни одной фундаментальной причины, по которой стратегии с редкими, но крупными выигрышами и частыми, но малыми проигрышами имели бы однозначное преимущество перед прочими типами стратегий. Единственный аргумент в их пользу, малый уровень риска на одну позицию, на мой взгляд, хоть и очень важен, но всё-таки не настолько, чтобы утверждать, что можно делать только так и не иначе. Более того, мне удалось обнаружить даже существенный изъян у такого типа стратегии. Если она вдруг перестаёт работать, можно ещё долго продолжать использовать её и нести убытки, пока не поймёшь, что случилось. Но всё-таки, это тоже не критический аргумент, с учётом того, что убытки на других стратегиях тоже будут немаленькими. Так почему же, большинство «гуру» рекомендует использовать только такие стратегии и настоятельно отговаривает от других?

Можно предположить, что дело заключается в особенностях движения цены. Действительно, есть наблюдения, что распределение по величине движения цен отличается от нормального более длинными хвостами. Иными словами, вероятность больших движений цены больше по сравнению с той, какой она должна была бы быть, если бы движения цены были полностью случайными. (Честно говоря, я пока не пытался самостоятельно проверить это утверждение. Быть может, это будет темой ещё одной статьи для Март-лаба.) Это означает, что теоретически возможно построить торговую систему, которая бы вообще не обращала внимания на направление движения цены, а основывалось бы лишь на соотношении величин take-profit и stop-loss. И если наблюдение верно, первый должен быть больше второго. Но боюсь, это только в теории. Нет сомнений, что статистическое преимущество такой системы будет крайне мало. Всё-таки эффективность практических торговых систем определяется тем, с какой вероятностью они угадывают именно направление движения цены. Так что, хоть я и не могу на данный момент подтвердить это строгим расчетом, мне не верится, чтобы данный фактор был решающим для выбора в пользу систем с редкими, но крупными выигрышами. Хотя свою роль он, несомненно, играет. Думаю, это интересная тема для отдельного исследования.

В общем, мне кажется, причины, по которым успешные трейдеры предпочитают системы с редкими крупными выигрышами перед другими, надо искать не в математике, а в психологии.

И последнее соображение о системах с редкими крупными выигрышами. Вполне возможно, что реальные применяемые системы следует отнести вовсе не к этому классу. В модели, что я рассматривал выше, я предполагал, что каждая позиция отыгрывается в один этап. То есть открыли позицию, и просто дождались лося или профита. Но так ли действуют трейдеры на практике? Открыв позицию, трейдер продолжает периодически контролировать её. И каждый раз принимает решение, продолжить удерживать позицию, либо закрыть её. Особенно это как раз относится к стратегиям в стиле «купи и держи». А теперь представим, что если мы решили продолжить удерживать позицию, мы закрываем старую сделку и открываем новую. Конечно, на практике никто так делать не станет, ведь это потребует уплаты дополнительной комиссии. Я хочу лишь показать, что длительно удерживаемая позиция типа «дай прибыли расти» можно рассматривать как серию из более коротких по времени позиций. Причём такие элементарные подпозиции весьма вероятно будут относиться уже не классу «большие прибыли – малые убытки», а к промежуточному классу, а то даже и к противоположному классу «частые малые прибыли, редкие убытки». Так что нельзя исключать, что в реальности трейдеры используют все три класса стратегий.

Азартная игра, как математическая модель трейдинга

Выше, для анализа работы трейдера я везде использовал метафору азартной игры. Пусть некоторым не нравится, когда трейдинг сравнивают с азартной игрой, но с точки зрения математики, данная модель очень неплохо, и главное наглядно, иллюстрирует то, как работает случайность. А она всегда неизбежно присутствует в трейдинге, хотим мы этого, или нет. И всё же, если мы хотим быть математически точными, то мы должны отметить, что модель азартной игры – лишь приближение, и реальный трейдинг она описывает не совсем адекватно. В чём состоит эта неточность?

Правила практически всех азартных игр устроены так, что каждый раунд игры никак не связан с предыдущим. Не важно, бросаем ли мы монету, или раздаём карты, мы всегда делаем это в одинаковых условиях (если конечно никто не жульничает :-) Поэтому вероятность выигрыша или проигрыша каждый раз одна и та же. Так ли это при игре на финансовых рынках? Очевидно, нет! (И вовсе не потому, что в этой игре жульничать пытаются все поголовно :-) Во-первых, большинство трейдеров имеет обыкновение работать с несколькими финансовыми инструментами, и у них может быть открыто одновременно несколько позиций. Думаю, не надо рассказывать о том, что разные инструменты, даже с разных сегментов рынка, часто ходят вместе. Во-вторых, даже позиции по одному и тому же инструменту закрытые и открытые с небольшим интервалом времени нельзя считать независимыми. Рынок правильнее было бы описывать не как совершенно случайный процесс (хотя такая «подлинная» случайность также присутствует, и несомненно играет большую роль), а как систему, внутреннее состояние которой нам не известно и благодаря такому незнанию её поведение кажется нам случайным. Можно сколько угодно рассуждать о методах фундаментального и технического анализа, спорить о том всё или не всё отражается в цене. Но факт в том, что все факторы, влияющие на цену, никто из трейдеров учесть просто не в состоянии.

Положим, есть некий фактор, от которого зависит результативность нашей системы, но учесть который мы не можем. (А если бы могли, мы бы конечно ввели его в свою систему) И предположим, он меняется не слишком быстро, медленнее, чем мы закрываем и открываем позиции. На длительном промежутке времени его влияние можно усреднить. Просто считать некую среднюю вероятность. Но останутся ли при этом корректными все формулы написанные выше? Боюсь, что не совсем. По крайней мере, волатильность счёта при этом явно увеличится. У нас будут чередоваться периоды, когда мы будем выигрывать чаще, чем следует из усреднённой вероятности с периодами, когда удачные сделки будут случаться реже. Отсюда вытекает любопытное наблюдение: неучтённая нами закономерность рынка для нас даже хуже, чем истинная случайность, поскольку приводит к большей волатильности нашего счёта по сравнению с последней.

Так что, ещё раз хочу обратить ваше внимание, что в этой статье я веду рассуждения в основном о «сферических конях в вакууме». Это позволяет просто и наглядно продемонстрировать, как работают законы математики, что и является моей целью. Но далеко не всегда приведённые здесь формулы можно просто так взять и применить к реальной работе трейдера. Как правило, это требует учёта многих дополнительных факторов.

Итоги

Итак, я надеюсь, мои математические досуги были для вас интересны, раз уж у вас хватило сил дочитать до этого места :-) Я конечно не открыл здесь никаких Америк, просто, как я уже писал вначале, нарисованные мной картинки очень наглядно иллюстрируют то, как законы теории вероятностей проявляют себя в трейдинге.

Заодно я здесь коснулся темы управления рисками. Это – важная задача, одно из необходимых условий успешной работы на финансовых рынках. И эта тема очень тесно связана с ролью случайности в трейдинге.

Что характерно, контроль риска важен не только в трейдинге, но и в обычной жизни. И похоже, здесь тоже мало кто умеет выбрать оптимальный уровень риска. Большинство осторожничает, довольствуясь тем, что есть, и боятся потерять это. Некоторые наоборот, ввязываются в авантюры, даже не подумав поинтересоваться какие могут быть подводные камни. Редко кто умудряется найти золотую середину.

В качестве примера можно привести уже упоминавшегося Тимофея Мартынова. Весь Март-лаб обсуждал его уход с телеканала РБК. Одни считали, что это для него слишком рискованно, отказаться от гарантированного заработка. Другие наоборот призывали всех поголовно следовать его примеру. Правильно ли Тимофей оценил свои риски? Может быть, когда-нибудь он нам это расскажет...

Попытаюсь подвести итог, и сформулировать наиболее важные тезисы:

© 2013 Алексей Курзенков

Все права на данную статью принадлежат её автору, Курзенкову Алексею. Любое её копирование, полное или частичное, без согласования с автором, является нарушением авторских прав!